সংখ্যায়ন

“সংখ্যায়ন” অধ্যায়টি আসলে পাটিগণিতের নির্দিষ্ট কোন অধ্যায় নয়।তবে বিগত সালের প্রশ্ন বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এ জাতীয় ২/১ টি অংক প্রায় প্রতি পরীক্ষায়ই আসে।তাই এ জাতীয় অংক যাতে সরাসরি কমন পড়ে এবং সবগুলো কৌশলই যাতে আপনি রপ্ত করতে পারেন সেজন্যই অধ্যায়টি সংখ্যায়ন নাম দিয়ে আলাদাভাবে তুলে ধরেছি আপনাদের সামনে।আশা করছি অনেক উপকৃত হবেন এ অধ্যায়টির মাধ্যমে।

সূত্র-১: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
বড় সংখ্যা = বর্গের অন্তর + ১২

সূত্র-২: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
ছোট সংখ্যা = বর্গের অন্তর - ১২

 

১. দুটি ক্রমিক পূর্ণ বর্গসংখ্যার বর্গের অন্তর ৯৩ হলে সংখ্যাদ্বয় কত ? [ উপজেলা মহিলা ও শিশুবিষয়ক কর্মকর্তা পরীক্ষা-২০০৭]

 

(ক) ৪৬,৪৭

 (খ) ৪৪,৪৫

 (গ) ৪৩,৪৪

 (ঘ) ৫০,৫১

উত্তরঃ (ক) ৪৬,৪৭

 

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
বড় সংখ্যা
= বর্গের অন্তর + ১২
= ৯৩+ ১২
= ৯৪২
= ৪৭
ছোট সংখ্যা
= বর্গের অন্তর - ১২
= ৯৩ - ১২
= ৯২২
= ৪৬
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ৪৬ ও ৪৭ ।

 

২. দুটি ক্রমিক পূর্ণ বর্গসংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯, বড় সংখ্যাটি কত ? [২২তম বিসিএস]

 (ক) ৭০

 (খ) ৮০

 (গ) ৯০

 (ঘ) ১০০

উত্তরঃ (ঘ) ১০০

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
বড় সংখ্যা
= বর্গের অন্তর + ১২
= ১৯৯+১২
= ২০০২
= ১০০

 

৩. দুটি ক্রমিক পূর্ণ র্বসংখ্যার বর্গের অন্তর যদি ৪৭ হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত ? [জাতীয় সঞ্চয় পরিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-২০০৯]

 (ক) ২৪

 (খ) ২৫

 (গ) ২৬

 (ঘ) ৩০

উত্তরঃ (ক) ২৪

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
বড় সংখ্যা
= বর্গের অন্তর + ১২
= ৪৭+১২
= ৪৮২
= ২৪

৪. কোন দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি ৪৭ হয় তবে সংখ্যা দুইটি কত? [ শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়ের জনসংখ্যা ও পরিবার কল্যাণ কর্মকর্তা পরীক্ষা-২০০৯]

 (ক) ২৩ এবং ২৪

 (খ) ২৪ এবং ২ ৫

 (গ) ২২ এবং ২৩

 (ঘ) ২১ এবং ২২

উত্তরঃ (ক) ২৩ এবং ২৪

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
বড় সংখ্যা
= বর্গের অন্তর + ১২
= ৪৭+ ১২
= ৪৮২
= ২৪
ছোট সংখ্যা
= বর্গের অন্তর - ১২
= ৪৭ - ১২
= ৪৬২
= ২৩
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ২৩ ও ২৪ ।

 

৫.দুইটির ধারাবাহিক সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ৩৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে ? [ প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (ভলগা)-২০১৫]

 (ক) ১২

 (খ) ১৫

 (গ) ১৬

 (ঘ) ১৮

উত্তরঃ (গ) ১৬

Explanation:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= বর্গের অন্তর - ১২
= ৩৩ - ১২
= ৩২২
= ১৬

৬. দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১। সংখ্যা দুটি কি কি ? [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক(মুক্তিযোদ্ধা)-২০১০ ]

 (ক) ৪৫,৪৬

 (খ) ৪৬,৪৮

 (গ) ৫৮,৪৫

 (ঘ) ৪০,৫০

উত্তরঃ (ক) ৪৫,৪৬

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
বড় সংখ্যা
= বর্গের অন্তর + ১২
= ৯১+ ১২
= ৯২২
= ৪৬
ছোট সংখ্যা
= বর্গের অন্তর - ১২
= ৯১ - ১২
= ৯০২
= ৪৫
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ৪৫ ও ৪৬ ।

যত বড়.....তত ছোট/ যত ছোট .... তত বড় উল্লেখ থাকলে

সূত্র-৩: যত বড়.....তত ছোট/ যত ছোট .... তত বড় উল্লেখ থাকলে, সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে--,

সংখ্যাটি = প্রদত্ত সংখ্যা দুটির যোগফল / 2

১. একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট । সংখ্যাটি কত ? [ ২২তম বিসিএস]

 (ক) ৭৩০

 (খ) ৭৩৫

 (গ) ৮০০

 (ঘ) ৭৮০

উত্তরঃ (খ) ৭৩৫

Explanation:
নির্ণেয় সংখ্যাটি
= ১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা২
= ৬৫০+ ৮২০২
= ১৪৭০২
= ৭৩৫

২. একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট ৭৯৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত ? [ খাদ্য অধিদপ্তরের খাদ্য পরিদশক -২০১১]

 (ক) ৮৯৭

 (খ) ৮৯৮

 (গ) ৮৯৯

 (ঘ) ৯০০

উত্তরঃ (খ) ৮৯৮

Explanation:
নির্ণেয় সংখ্যাটি
= ১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা২
= ৯৯৯+ ৭৯৭২
= ১৭৯৬২
= ৮৯৮

৩. একটি সংখ্যা ৭৪২ থেকে যত বড় ৮৩০ থেকে তত ছোট । সংখ্যাটি কত ? [বিএসটিই এর অফিস সহকারী-২০১১]

 (ক) ৭৮২

 (খ) ৭৯০

 (গ) ৭৮০

 (ঘ) ৭৮৬

উত্তরঃ (ঘ) ৭৮৬

Explanation:
নির্ণেয় সংখ্যাটি
= ১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা২
= ৭৪২+ ৮৩০২
= ১৫৭২২
= ৭৮৬

৪. একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি, ৫৫ থেকে তত কম । সংখ্যাটি কত ? [ আইন,বিচার ও সংসদ ও স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা -২০১২]

 (ক) ৩৯

 (খ) ৪১

 (গ) ৪৩

 (ঘ) ৪৫

উত্তরঃ (গ) ৪৩

Explanation:
নির্ণেয় সংখ্যাটি
= ১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা২
= ৩১+ ৫৫২
= ৮৬২
= ৪৩

৫. একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত । ছোট সংখ্যাটি কত ? [ ৩০ তম বিসিএস]

 (ক) ৩৪০

 (খ) ৩৪১

 (গ) ৩৪২

 (ঘ) ৩৪৪

উত্তরঃ (খ) ৩৪১

Explanation:
নির্ণেয় সংখ্যাটি
= ১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা২
= ৩০১+ ৩৮১২
= ৬৮২২
= ৩৪১

৬. একটি সংখ্যা ৫৬০ থেকে যত কম, ৩৮০ থেকে তার সাড়ে তিনগুণ বেশি। সংখ্যাটি কত ? [থানা শিক্ষা কর্মকর্তা-২০১০]

 (ক) ৪৫০

 (খ) ৪৭০

 (গ) ৫২০

 (ঘ) ৫০০

 

উত্তরঃ (গ) ৫২০

Explanation:
মনে করি.
সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে ১ একক কম এবং ৩৮০ থেকে সাড়ে তিন একক বেশী ।
তাই সাড়ে চার একক = ৫৬০- ৩৮০ = ১৮০
অতএব, এক একক = ৪০
সুতরাং সংখ্যাটি ৫৬০-৪০ = ৫২০
অথবা
এটা অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে সমাধান দ্রুত ও সহজ হবে।
অপশন অনুযায়ী ধরি,সংখ্যাটি ৫২০।
৫২০ সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে ৪০ কম।কিন্তু ৫২০-৩৮০ = ১৪০।
এখানে ৪০ এর সাড়ে তিনগুণ হচ্ছে ১৪০।
অর্থাৎ ৫২০ সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে যত কম, ৩৮০ থেকে তার সাড়ে তিনগুণ বেশি।

 

দুটি সংখ্যার গুণফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে

সূত্র-৪: দুটি সংখ্যার গুণফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে অপর সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

অপর সংখ্যাটি = দুইটি সংখ্যার গুণফল / (ভাগ) একটি সংখ্যা

 

১. দুটি সংখ্যার গুণফল ২৩০৪। একটি সংখ্যার ৪ গুণ ৯৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত ? [সাব রেজিঃ -২০০১]

 (ক) ৯৪

 (খ) ৯২

 (গ) ৯৬

 (ঘ) ৯৮

উত্তরঃ (গ) ৯৬

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
এখানে, একটি সংখ্যা হবে = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪।যেহেতু সংখ্যাটির চারগুণ ৯৬।
অপর সংখ্যাটি = দুইটি সংখ্যার গুণফল ÷ একটি সংখ্যা = ২৩০৪ ÷ ২৪ = ৯৬ ।

২. ২টি সংখ্যার গুণফল ৮.৮। একটি সংখ্যা ২.৭৫, অপর সংখ্যাটি কত ? [বিজেএস পরীক্ষা-২০০৬]

 (ক) ৩.২০

 (খ) ৩.৮

 (গ) ৪.২

 (ঘ) ৪.৮

উত্তরঃ (ক) ৩.২০

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
অপর সংখ্যাটি = দুইটি সংখ্যার গুণফল ÷ একটি সংখ্যা = ৮.৮ ÷ ২.৭৫ = ৩.২ ।

সংখ্যা সম্পর্কিত আরো কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও সমাধান

১. একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত ? [ ৬ষ্ঠ সহকারি জজ নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ২৪

 (খ) ২০

 (গ) ১৮

 (ঘ) ১৬

উত্তরঃ (গ) ১৮

 

Explanation:

ধরি, সংখ্যাটি = ‘ক’

প্রশ্নমতে, ৩ক+২ক = ৯০

বা, ৫ক = ৯০

বা,ক = ৯০÷৫=১৮

সুতরাং সংখ্যাটি = ১৮

২. একটি ঋণাত্মক সংখ্যার দ্বিগুণের বর্গের সাথে ১৫ যোগ করলে ৪১৫ হয়। সংখ্যাটি কত ? [পরিদর্শক (জাতীয় রাজস্ব বোড) -২০১০]

 (ক) ১১

 (খ) ১০

 (গ) ২০

 (ঘ) ১৫

উত্তরঃ (খ) ১০

Explanation:
ধরি, ঋণাত্মক সংখ্যাটি = -ক
প্রশ্নমতে, (-২ক)২ +১৫ = ৪১৫
বা , (২ক)২ = ৪১৫-১৫
বা, (২ক)২ = ৪০০
বা, (২ক)২ = (২০)২
বা, ২ক = ২০
বা,ক = ১০
সুতরাং সংখ্যাটি = ১০

 

৩. দু’টি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪১, সংখ্যা দু’টির গুণফল ২০। সংখ্যা দু’টির বর্গের বিয়োগফল কত ? [৭ম বেসরকরি প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ৭

 (খ) ৯

 (গ) ১১

 (ঘ) ১৩

উত্তরঃ (খ) ৯

Explanation:
মনে করি , সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a ও b ।
প্রশ্নমতে, a2 + b2 = ৪১ আবার, ab = ২০
আমরা জানি, (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, (a+b)2 = ৪১ + ২×২০
বা, (a+b)2 = ৮১
বা, (a+b)2 = (৯)২
বা, a+b = ৯
আবার, (a-b)2 = a2 + b2 - 2ab
বা, (a-b)2 = ৪১ - ২×২০
বা, (a-b)2 = ৪১ - ৪০
বা, (a-b)2 = ১
বা, a-b = ১
সুতরাং a2 - b2 = (a+b)(a-b)
বা, a2 - b2 = ৯×১ = ৯
অর্থাৎ সংখ্যা দু’টির বর্গের বিয়োগফল = ৯

মুখে মুখে সমাধান : এখানে, ৪২+৫২ = ৪১ আবার, ৪×৫ = ২০।
সুতরাং সংখ্যা দু’টি হচ্ছে ৪ ও ৫।
তাই সংখ্যা দু’টির বর্গের বিয়োগফল = ৫২ - ৪২= ৯।

৪. পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে,শেষ ৫টির যোগফল কত ? [ অর্থ মন্ত্রণালয়ের অডিটর পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ৫৮০

 (খ) ৫৮৫

 (গ) ৫৭৫

 (ঘ) ৫৭০

উত্তরঃ (খ) ৫৮৫

Explanation:
মনে করি,
প্রথম সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে , x+x+ ১+x+ ২+x+ ৩+x+ ৪ = ৫৬০
বা, ৫x+১০ = ৫৬০
বা, ৫x = ৫৫০
বা, x = ১১০
.’. শেষ ৫ টি সংখ্যার যোগফল
= x+৫+x+৬+x+৭+x+৮+x+৯
= ৫x+৩৫
= (৫×১১০)+৩৫ [ x এর মান ১১০ বসিয়ে]
= ৫৮৫
অথবা
মুখে মুখে সমাধান: এরকম থাকলে শেষ পদসংখ্যাকে বর্গ করে প্রথম যোগফলের সাথে যোগ করলেই শেষ সংখ্যা গুলোর যোগফল পাওযা যাবে।যেমন ৫২ = ২৫।
সুতরাং শেষ ৫টির যোগফল = ৫৬০+২৫ = ৫৮৫

৫. ৩টি সংখ্যার গুণফল ২১৬। দুইটি সংখ্যা ৮ এবং ৯ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত ? [সহকারী উপ-খাদ্য পরিদশক (বাতিল)পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ৩

 (খ) ৭

 (গ) ৫

 (উত্তরঃ (ক) ৩

Explanation:
৩টি সংখ্যার গুণফল ২১৬
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৮×৯ = ৭২
তৃতীয় সংখ্যাটি = ২১৬÷৭২ = ৩

ঘ) ৬

৬. ৩টি সংখ্যার গড় ৩৩। দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৪২ হলে অপর সংখ্যাটি কত ? [ উপ-খাদ্য পরিদশক (বাতিল)পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ১২

 (খ) ২২

 (গ) ৩২

 (ঘ) ৩৩

উত্তরঃ (ঘ) ৩৩

 

Explanation:

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩

৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৩×৩ = ৯৯

২ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৪+৪২ = ৬৬

অপর সংখ্যাটি = ৯৯-৬৬ = ৩৩

৭. একটি সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৯ যোগ করলে যোগফল ১৪ হয় সংখ্যাটি কত ? [সহকারী উপ-খাদ্য পরিদশক (বাতিল)পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

 (ক) ৪

 (খ) ২৫

 (গ) ২২৫

 (ঘ) ৫

উত্তরঃ (খ) ২৫

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,√ক+৯ = ১৪
বা, √ক= ১৪-৯ = ৫
বা, ক = ২৫ [ উভয়পক্ষকে বর্গ করে ]
সুতরাং সংখ্যাটি = ২৫